תולדות חייו נולד בעיירה אוזדה, אז ברוסיה, לרב דוד
– רבה של קהילת החסידים בעיירה, מצאצאי הגר"א, ופייא גיטל, שהייתה בת הרב יצחק
יחיאל דוידוביץ אב"ד קרליץ, מצאצאי השל"ה. נולד ביום הולדתו ופטירתו,
של משה רבנו – ז' באדר, ונקרא על-שמו. למד אצל הרב איסר זלמן מלצר בישיבת סלוצק
ואצל הרב פסח פרוסקין בשקלוב. לרבנות סמכו אותו אביו והרב פרוסקין. בשנת תרפ"ב
נשא לאישה את סימה קוסטנוביץ. לאחר מלחמת העולם הראשונה ופטירת אביו שימש במשך שנתיים
כרב עיירת הולדתו אוזדה, ולאחריה שימש ברבנות העיר ליובאן שברוסיה, עד הגירתו לארצות
הברית בשנת תרצ"ז (1937). בארצות הברית שימש כראש ישיבת "תפארת ירושלים"
בניו יורק, כנשיא אגודת הרבנים בארצות הברית וקנדה וכנשיא ארגון עזרת תורה. צאצאיו בנו הרב דוד פיינשטיין שליט"א – ממלא
מקומו כראש מתיבתא תפארת ירושלים בלואר איסט סייד ופוסק. בנו הרב ראובן פיינשטיין שליט"א – ראש מתיבתא תפארת ירושלים בסטטן איילנד חתנו הרב אליהו משה שיסגל היה ר"מ בישיבת תורה ודעת בברוקלין, נפטר בצעירותו חתנו הרב ד"ר משה דוד טנדלר שליט"א – רב במונסי ניו יורק, מומחה
בתחום רפואה והלכה משנתו הרב פיינשטיין זצ"ל היה מוכר כפוסק
החרדי הבולט והמשפיע ביותר בארצות הברית. אלפי תשובותיו בהלכה הופצו בעולם היהודי
כולו ורוכזו בסדרת הספרים אגרות משה. בין היתר הוא דן בתשובותיו בבעיות טכנולוגיות
מודרניות, רפואה והלכה, ואף בעיקרי היהדות. כמו כן היה פעיל בענייני ציבור וחינוך בקהילה
היהודית. התנגד בחריפות לתנועה הרפורמית ולקונסרבטיבית. ספריו הקדושים החיבור החשוב ביותר שהוציא לאור בחייו היה
"אגרות משה" (תשעה כרכים) המכיל מכתבי תשובות הלכתיות שמהוות אבן דרך בפסיקה
הלכתית, ובהתייחסות
ההלכתית לבעיות החדשות. הכרך השמיני של "אגרות משה" יצא לאור לאחר פטירתו,
על ידי חתנו, הרב משה דוד טנדלר, וחתנו של הרב טנדלר, הרב שבתי רפפורט. כמו כן הוציא לאור ספר בשם "דרש משה"
בענייני דרוש ואגדה, וכמה כרכים של "דברות משה" הכוללים שיעורים על המסכתות
הישיבתיות בתלמוד, אך אלו פחות התקבלו בציבור הלומדים יחסית לספרי השו"ת בשל האריכות
והעמקות הרבה בה הוא מעיין בכל נושא. על אף שכאמור, ספרו דברות משה פחות התקבל
בציבור הלומדים, הוא עצמו החשיב חיבור זה לחיבור החשוב יותר, כנראה משום שבו הוא מאריך
לבאר את סוגיות התלמוד ומסיק מהם מסקנות להלכה, ובכך השאיר צוהר לעומק דרכו ההלכתית. אחרית ימיו הרב פיינשטיין זצ"ל נפטר בניו-יורק
בשנת תשמ"ו (1986). בהלוויתו שהתקיימה בשושן פורים בירושלים השתתפו מאות אלפים.
נקבר בהר המנוחות בחלקת הרבנים. על מצבתו נכתב בין היתר: "עמוד ההוראה גדול הדור אב לחכמים ראש המדברים
לכל דבר שבקדושה, נשא משא הדור בחכמה ותבונה באומץ וגבורה ובסבלנות אין קץ, בכל אשר
פעל ועשה, הדריך הנהיג הורה ולימד, מסר נפשו להעמדת האמת שעלתה לו מעמלו כל ימיו אצר
אוצרות של תורה בספריו 'אגרות משה' ו'דברות משה' והעלה אור חדש בלמוד התורה ובהבנתה. מקור ההלכה לכל המבקש תורת חיים משענת ומבטח להם בעבודת השי"ת השפיל והמציא עצמו
לכל נזקק ונדכא לשמוע לצרכיהם להשתתף בצערם ולסעדם ונקש על דלתי רחמים בתפילתו לישועתם
אמיץ לב בגיבורים להציל כל עשוק. קדוש וטהור חכם ועניו אהוב למעלה ואהוב למטה ומקובל
לכל". זכותו הגדולה תגן על כל ישראל, אמן. | 
